Facharbeit über Schnittflächen von Quadriken im Raum

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Schule

NRW: Gymnasium 12. Klasse

Fach

Mathematik LK

Note

1-

Anzahl Seiten

19

Anzahl Wörter

2165

Dateiformat

PDF

Facharbeit über Schnittflächen von Quadriken im Raum

In der Facharbeit soll gezeigt werden, ob es möglich ist, eine eindeutige Klassifizierung normalisierter Quadriken im Raum durch die drei Schnittflächen der Achsenflächen vorzunehmen. Dafür wird zunächst erläutert, was Quadriken sind und wie diese sich darstellen lassen. Diesbezüglich werden weitere Begriffe erklärt und Rechnungen durchgeführt. Die Arbeit ist sehr ausführlich und umschließt alle relevanten Bereiche.

Inhalt:
Einführung

Was sind Quadriken?

Fragestellung, Methoden und Zielsetzung

Abgrenzungen

Hintergrund und Begriffe

Matrizen: Funktionen und Begriffe

Rechnen mit Matrizen

Multiplikation

Spur

Determinante

Determinante für 2×2-Matrizen

Determinante für 3×3-Matrizen

Transponieren

Besondere Matrizen

Einheitsmatrix

Nullmatrix

Rechnen mit Vektoren

Vektoraddition

Berechnung der Länge eines Vektors

Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar

Schritte der Klassifizierung

Von Gleichungen zu Matrizen

Normalisierung der Quadrik

Das Eigenwertproblem

Das charakteristische Polynom

Die Eigenvektoren

Die Hauptachsentransformation

Translation

Achsenflächen und Gleichsetzung

Eigene Definition der Achsenflächen

Mögliche Schnittflächen

Gedanken zur Gleichsetzung mit Achsenflächen

Klassifikationen von Quadriken im Raum

Fazit

Literaturverzeichnis

Anhang

Auszug:
Unter Quadriken versteht man die Darstellung von Gleichungen der zweiten Ordnung. Quadriken lassen sich in einem zwei- oder dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem über die Bestimmung aller möglichen Lösungen einer beschreibenden Gleichung darstellen. Im Zweidimensionalen lässt sich so beispielsweise ein Kreis (x²+y²=25) darstellen. Die Variablen der Gleichungen einer Quadrik werden in der Literatur überwiegend mit [x1, x2, ..., xn] benannt. Da ich für meine Ausarbeitungen die dritte Dimension nicht überschreite, benutze ich der Übersicht halber die Bezeichner [x, y, z].

Fragestellung, Methoden und Zielsetzung

Quadriken bilden Flächen zweiter Ordnung im Raum, die sich auf verschiedene Weisen klassifizieren lassen. Zur Klassifizierung wird die Gleichung der Quadrik in eine Normalform überführt. In der linearen Algebra werden dreidimensionale Gleichungen zweiter Ordnung mit Flächen-Gleichungen gleichgesetzt, um sogenannte Schnittflächen zu berechnen. Ich werde untersuchen, ob es möglich ist, eine eindeutige Klassifizierung normalisierter Quadriken im Raum durch die drei Schnittflächen der Achsenflächen vorzunehmen. Dazu beschäftige ich mich mit den einzelnen Schritten, über die Quadriken im Raum normalisiert werden und stelle die gängige Klassifizierung vor. Anschließend stelle ich dar, auf welche Art sich Schnittflächen errechnen lassen. Im Anschluss führe ich die Berechnung der Schnittflächen für alle verschieden klassifizierten Quadriken durch und beantworte darüber meine zentrale Fragestellung.
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