Facharbeit über Schnittflächen von Quadriken im Raum
- NRW: Gymnasium 12. Klasse
- Mathematik LK
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Facharbeit über Schnittflächen von Quadriken im Raum
In der Facharbeit soll gezeigt werden, ob es möglich ist, eine eindeutige Klassifizierung normalisierter Quadriken im Raum durch die drei Schnittflächen der Achsenflächen vorzunehmen. Dafür wird zunächst erläutert, was Quadriken sind und wie diese sich darstellen lassen. Diesbezüglich werden weitere Begriffe erklärt und Rechnungen durchgeführt. Die Arbeit ist sehr ausführlich und umschließt alle relevanten Bereiche.
Inhalt:
Einführung
Was sind Quadriken?
Fragestellung, Methoden und Zielsetzung
Abgrenzungen
Hintergrund und Begriffe
Matrizen: Funktionen und Begriffe
Rechnen mit Matrizen
Multiplikation
Spur
Determinante
Determinante für 2×2-Matrizen
Determinante für 3×3-Matrizen
Transponieren
Besondere Matrizen
Einheitsmatrix
Nullmatrix
Rechnen mit Vektoren
Vektoraddition
Berechnung der Länge eines Vektors
Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
Schritte der Klassifizierung
Von Gleichungen zu Matrizen
Normalisierung der Quadrik
Das Eigenwertproblem
Das charakteristische Polynom
Die Eigenvektoren
Die Hauptachsentransformation
Translation
Achsenflächen und Gleichsetzung
Eigene Definition der Achsenflächen
Mögliche Schnittflächen
Gedanken zur Gleichsetzung mit Achsenflächen
Klassifikationen von Quadriken im Raum
Fazit
Literaturverzeichnis
Anhang
Auszug:
Unter Quadriken versteht man die Darstellung von Gleichungen der zweiten Ordnung. Quadriken lassen sich in einem zwei- oder dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem über die Bestimmung aller möglichen Lösungen einer beschreibenden Gleichung darstellen. Im Zweidimensionalen lässt sich so beispielsweise ein Kreis (x²+y²=25) darstellen. Die Variablen der Gleichungen einer Quadrik werden in der Literatur überwiegend mit [x1, x2, ..., xn] benannt. Da ich für meine Ausarbeitungen die dritte Dimension nicht überschreite, benutze ich der Übersicht halber die Bezeichner [x, y, z].
Fragestellung, Methoden und Zielsetzung
Quadriken bilden Flächen zweiter Ordnung im Raum, die sich auf verschiedene Weisen klassifizieren lassen. Zur Klassifizierung wird die Gleichung der Quadrik in eine Normalform überführt. In der linearen Algebra werden dreidimensionale Gleichungen zweiter Ordnung mit Flächen-Gleichungen gleichgesetzt, um sogenannte Schnittflächen zu berechnen. Ich werde untersuchen, ob es möglich ist, eine eindeutige Klassifizierung normalisierter Quadriken im Raum durch die drei Schnittflächen der Achsenflächen vorzunehmen. Dazu beschäftige ich mich mit den einzelnen Schritten, über die Quadriken im Raum normalisiert werden und stelle die gängige Klassifizierung vor. Anschließend stelle ich dar, auf welche Art sich Schnittflächen errechnen lassen. Im Anschluss führe ich die Berechnung der Schnittflächen für alle verschieden klassifizierten Quadriken durch und beantworte darüber meine zentrale Fragestellung.
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